Oldja meg a valós számok halmazás a

$\log_{2x}x+\log_{8x^2}x=0 $

egyenletet!

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Legyenek $ x $ és $ y $ olyan pozitív egészek, melyek eleget tesznek a $ 4 y^2 - 9 x^2 = 2007 $ egyenletnek. Mennyi az összes összetartozó $ x $ és $ y $ érték szorzatának legnagyobb prímosztója?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Az $ ABCD $ trapéz $ AB $ alapjának hossza háromszorosa a $ CD $ alapnak és az $ AD $ szárnak. Az $ AC $ átló hossza $ 5 $ egység, a $ BC $ szár hossza $ 10 $ egység. Mekkorák az $ ABCD $ trapéz oldalai?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Bizonyítsa be, hogy $ 2006^{2007} + 2008^{2006} + 2007 $ osztható $ 7 $ -tel!

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Bizonyítsa be, hogy egy tetszőleges háromszög $ a , b, c $ -vel jelölt oldalai között akkor és csak akkor áll fenn az $ a \le b \le c $ egyenlőtlenség, ha az $ s_a $ , $ s_b $ , $ s_c $ -vel jelölt súlyvonalakra fennáll az $ s_a \ge s_b \ge s_c $ egyenlőtlenség!

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

András és Balázs kosárra dobásban méri össze tudását. Annak valószínűsége, hogy András a kosárba talál 0,7; míg Balázs 0,4 valószínűséggel dob kosarat. Egy játszmában mindegyikük egyszer dob.

- Ha András talál, és Balázs nem, akkor András nyer.

- Ha Balázs talál, és András nem, akkor Balázs nyer.

- Minden más esetben a játszma eredménye döntetlen.

Mennyi a valószínűsége annak, hogy két egymás utáni játszma mindegyike döntetlen lesz?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Legyen 

$ f(x)=\log_2\left(tg\ x+\dfrac{1}{\cos x} \right)$

és

$g(x)=\dfrac{2^{f(x)}-2^{-f(x)}}{2} $

minden olyan valós $ x $ -re, amelyre a szereplő függvények értelmezhetők. Mennyi $ g\left( \dfrac{\pi}{4 }\right) $ pontos értéke?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Tekintse

$p(x ) = ( 5 x - 2 )\cdot (2 x + 4 ) \cdot ( x - 251 )$

és

$q ( x ) = (a - b + c ) \cdot x^3 + ( 3a + b - c )\cdot x^2 + (a + b + c ) \cdot x + d $

a polinomokat! Határozza meg az $ a $ , $ b $ , $ c $ és $ d $ valós számokat úgy, hogy

$ p(x ) = q(x ) $

minden valós x -re teljesüljön!

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Az $ a_n $ és $ b_n $ számsorozatokat az alábbi módon definiáljuk:

$ a_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n}$

és

$b_n=n\cdot a_n-a_1-a_2-\ldots-a_n$

Határozza meg $ b_{2008} $ értékét!

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Az $ ABC $ hegyesszögű háromszög $ AB $ oldala, mint átmérő fölé rajzolt kör a $ BC $ szakaszt a $ P $ , az $ AC $ szakaszt a $ Q $ pontban metszi. Legyenek a $ P $ és a $ Q $ pontokból az $ AB $ -re bocsátott merőlegesek talppontjai $ X $ és $ Y $

$\dfrac{PX}{QY }=\dfrac{b^2\cdot (a^2+c^2-b^2)}{a^2\cdot (b^2+c^2-a^2) } $

Bizonyítsa be, hogy ahol $ a, b, c $ az $ ABC $ háromszög oldalhosszait jelentik!

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenletet, ha $ p $ pozitív prímszám:

$ \sqrt{ x^2 - 2 x - 3 - p^2 } + \sqrt{ x^2 - 2 x - 3 + p^2 } = p^2 $

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Egy kifejezést a következő képlettel definiálunk:

$K=\dfrac{x^3 - x^2 - 9 x + 2017}{x^2-9 } $

ahol $ x \in [ - 2008 ;2008] $ és $ x \in \mathbb{Z} $ . Mennyi a valószínűsége annak, hogy $ K $ egész szám, ha $ x $ eleget tesz a fenti feltételeknek?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Az $ ABC $ derékszögű háromszög $ AB $ átfogójára és az $ AC $ befogójára kifelé megrajzoltuk az $ ABDE $ és $ ACFG $ négyzeteket. Jelölje $ M $ az $ EC $ és $ BG $ szakaszok metszéspontját! Mekkora szögben látszanak az $ M $ pontból az $ ABC $ háromszög oldalai?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Egy $ m $ sorból és $ n $ oszlopból álló, téglalap alakú táblázat minden mezőjébe egy-egy számot írunk oly módon, hogy az egyes sorokba írt számok egy-egy számtani sorozat egymás utáni tagjait képezik, hasonlóképpen az egyes oszlopokba írt számok is egy-egy számtani sorozat egymás utáni tagjai. Mennyi a táblázatba írt számok összege, ha a téglalap négy sarkába (csúcsába) írt számok összege $ 2008 $?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:

$  \log_2(1+\cos (2x)) = 2 ^{1+\cos(3x)} $

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Az $ ABC $ háromszög $ BC $ oldalának felezőpontja $ F $ , az $ AB $ oldal egy belső pontja $ T $ , az $ AF $ és $ CT $ szakaszok metszéspontja $ M $. Az $ ATM $ háromszög területe 8, a $ CFM $ háromszög területe 15 egység. Mekkora lehet az $ ABC $ háromszög területe?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Határozzuk meg, mely $ a $ és $ b $ egész számokra igaz:

$  \dfrac{b}{a-1}+\dfrac{a-4}{b+1}=1 $

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy egy olyan téglalap alapú gúlában, amelyben a gúla magasságának a talppontja az alap valamely csúcsába esik, a leghosszabb oldalél hosszának negyedik hatványa legalább hatszorosa az oldallapok területei négyzetösszegének.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Adott az $ x \mapsto \dfrac{2x+1}{2}-\sqrt{x^2+1} $ függvény, ahol $ x\ge 0 $.

a) Monoton nő, vagy csökken a függvény?

b) Melyik az a legkisebb pozitív egész $ n $, amelyre $ f(n)<\dfrac{1}{2008} $?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Tekintsük azokat a konvex négyszögeket, amelyek 100 darab egységnyi oldalú szabályos háromszögre darabolhatók. Mekkorák lehetnek a megfelelő négyszögek oldalai?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Egy 30 fős osztályban a karácsonyi ajándékozásról sorshúzással döntenek. Minden diák nevét felírják egy papírra, majd a 30 papírdarabot egy sapkába teszik. Névsor szerinti sorrendben mindenki kihúz egy papírt a sapkából és a rajta szereplő embernek készít ajándékot. Elképzelhető, hogy valaki saját magát ajándékozza meg.
Az átadás úgy történik, hogy először jelentkeznek, akik magukat húzták, majd a többi diák közül a legfiatalabb diák átadja ajándékát az általa húzott embernek, és innentől aki éppen megkapja az ajándékát, az lesz a soron következő ajándékot átadó ember. Ha valahol elakad a sor, azaz olyan diák kapja az ajándékot, aki már a sajátját átadta, de még nem mindenki adta át illetve kapta meg az ajándékát, akkor ez utóbbiak közül a legfiatalabb újra kezdi.
Mennyi a valószínűsége, hogy egy osztályban hat egymást követő év karácsonyi ajándékozása során lesz legalább egy olyan év, amelyben senki nem húzza magát és a sor sem akad el? (Az osztály létszáma minden évben ugyanannyi.)

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Melyek azok az $ x $, $ y $, $ z $ és $ w $ valós számok, amelyekre egyszerre teljesül:

$  x+y+z=\dfrac{3}{2}$

és

$ \sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\ge 2+3^{w-2} $

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Adott egy egységnyi oldalú négyzet. Határozzuk meg a négyzet síkjában levő azon körök középpontjainak a halmazát (mértani helyét), amelyeknek a négyzet mind a négy oldalával két közös pontja van.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Egy urnában van $ n + 2 $ darab cédula. Két cédulán páros szám, $ n $ darabon pedig páratlan szám van, ahol $ n \ge 2 $. Ketten játszanak A és B. Minden játékot A kezd, kihúz két cédulát visszatevés nélkül, majd B is ugyanezt teszi. Az A játékos nyer, ha az általa húzott számok összege páros, de B összege páratlan. B nyer, ha az ő két számának összege páros, de A összege páratlan. Ha mindkettőjük összege egyszerre páros, vagy egyszerre páratlan, akkor újra játszanak. Milyen n érték esetén lesz a legkisebb az újrajátszás valószínűsége?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Az $ ABC $ háromszög $ BC $ oldalának felező pontja $ D $. Az $ ABD $ és $ ADC $ háromszögek köré írt körök középpontjai rendre $ E $ és $ F $ . A $ BE $ és

$ CF $ egyenesek metszéspontja $ G $. Tudjuk, hogy $ BC=2DG=2008 $ és $ EF = 1255 $ egység. Mekkora az $ AEF $ háromszög területe?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Egy 2 egység magasságú egyenes körhenger alapkörének átmérője legyen egy egység. A hengert olyan síkkal messük el, mely a forgástengellyel $ 45^\circ$-os szöget zár be és az alapkörrel egyetlen közös pontja van. Legyen ez a pont $ O $. A hengerpalástot ezután az $ O $ ponton átmenő alkotó mentén felvágva kiterítjük, ami által a metszetgörbe síkgörbe lesz. Mely $ x \mapsto (x) $ függvény grafikonja ez a síkgörbe?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Az $ ABCD $ síkbeli négyszög átlóinak (konkáv négyszög esetében az átlóegyeneseinek) metszéspontja $ M $, az $ AMB $, $ BMC $, $ CMD $ és $ DMA $ háromszögek súlypontjai rendre a $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ pontok, a $ BCD $, $ ACD $, $ ABD $ és $ ABC $ háromszögek súlypontjai pedig rendre az $ X $, $ Y $, $ Z $, $ W $ pontok. Bizonyítsuk be, hogy az $ X $, $ Y $, $ Z $, $ W $ pontok a $ PQRS $ négyszög oldalegyenesein vannak.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Legyen $ f $ a pozitív valós számokon értelmezett valós értékű függvény, amelyre minden $ x, y $ esetén $ f (xy) \le xf (y) $. Igazoljuk, hogy minden $ x, y $-ra $ f (xy) = xf (y) $.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

A térbeli $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ és $ E $ pontok közül semelyik négy sem esik egy síkba. Az $ A $ és $ B $ pontokat elválasztja a $ CDE $ sík (vagyis $ A $ és $ B $ a $ CDE $ sík különböző oldalára esik). Hasonlóan, $ B $-t és $ C $-t elválasztja az $ ADE $ sík, $ C $-t és $ D $-t elválasztja az $ ABE $ sík. Mutassuk meg, hogy ekkor $ D $ és $ E $ az $ ABC $ síknak ugyanarra az oldalára esik.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Van-e olyan, valós számokból álló, a $ [0, 1] $ intervallumba eső A végtelen halmaz, amely nem tartalmaz háromtagú számtani sorozatot, de bármely két $ A $-beli elem közé is esik $ A $-beli elem?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba